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(3) 解析
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私はこの分野が大の苦手なので手が出ません。
以下のテキストおよび練習問題は、aokiさんよりご提供いただきました。
aokiさんに心より感謝申し上げます。
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【分野の傾向】
本分野は数値解析手法の他、力学・バネ・熱伝導その他の計算式や計算方法・物量の取り扱いに関する問題も出題されています。苦手な人にとって難問が多い中、数値の変化をつかむことにより中学の数学程度で解ける問題も出題されています。複雑な計算が必要な問題は近年なくなり、電卓なしでも解けるような問題になりました。
【分野の基本対策】
この分野が得意な人でも計算等時間を要する問題は後回しにするなど、時間配分には十分な対策が必要です。短時間で点の取れそうな問題を選択する力をつけることが鍵となります。基礎知識を習得して択一問題に慣れましょう。
特に熟練技術者にとっては各種解析手法を習得するのは大変です。微分の基本、及び「差分法」「有限要素法」「境界要素法」の概念を習得しましょう。比例・反比例、1次式・2次式とそのグラフに慣れておきましょう。
解析分野は難しい言葉が入っており、又、時間もかかるため敬遠されがちです。択一計算問題においては、
・選択肢→問題文のうち出題箇所→問題文全体の順で読むこと。
・変化を求める問題は、まず、比例、反比例について考えること。
・解答群のなかに単位や次元の異なる解答がある場合、単位や次元で絞り込むこと。
・簡単な事例(1とか、両端の数字など具体的な数字)にて計算してみること。
など、工夫することにより解答が絞り込めます。
【分野の基礎知識】
●微分・偏微分について
(dy/dxについて)
「微分」とは、分かりやすい言葉でいえば「瞬間変化率」を求めることです。
例えば、1時間に40km走行すれば、平均速度は40km/時間ですね。しかし、速度規制は瞬間速度で規制され、一瞬でも60km/時間を越えてはなりません。
「平均速度」を「平均変化率」と呼べば、「瞬間速度」を「瞬間変化率」と呼べます。これが微分の概念です。グラフ上では接線の勾配が「瞬間変化率」であり、微分の概念です。
y=f(x)のとき、dy/dxをy=f(x)の「導関数」といい、dy/dx=lim(h→0)〔f(x+h)−f(x)〕/hとなります。導関数を求めることを「微分する」といいます。
(∂y/∂xについて)
関数z=f(x,y) のように変数が2個以上あるとき、yを一定に保った場合に、∂y/∂xはz=f(x,y)のxについての「編導関数」といいます。編導関数を求めることを「偏微分」するといいます。
微分・偏微分についての練習問題を以下に記します。
| 微分・偏微分練習問題 |
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問1 y=axn のとき、dy/dx を求めよ。
解 dy/dx =anxn−1
(この式を丸暗記すること。これによりこの種の問題は解けます。)
問2 y=axn+bxm +c のとき、dy/dx を求めよ。
解 dy/dx= anxn−1 + bmxm−1
問3 y=2x−x2 のとき、 dy/dx を求めよ。
解 2−2x
問4 y=2x−x2 のとき、x=1での dy/dx を求めよ。
解 dy/dx=2−2x x=1なのでdy/dx=2−2×1=0
問5 z=axn ym のとき、∂z/∂xを求めよ。
解 yを一定に保った場合であるので z=aymxnと読みかえ、問1の式に当てはめる。
∂z/∂x=aymnxn−1
問6 z=2x−x2y のとき ∂z/∂x を求めよ。
解 z=2x−yx2 と読みかえ、問2の式に当てはめる。
∂z/∂x=2−2yx
問7 z=2x−x2y のとき 点(1、−1)での∂z/∂x を求めよ。
解 ∂z/∂x=2−2yx。点(1、−1)とは、x=1、y=−1のことなので、
∂z/∂x=2−2×(−1)×1=4
問8 z=2x−x2y のとき ∂z/∂y を求めよ。
解 −x2
問9 z=2x−x2y のとき 点(1、−1)での∂z/∂y を求めよ。
解 −x2 = −1
問10 z=2x−x2y のとき 点(1、−1)での(∂z/∂x,∂z/∂y) を求めよ。
解 H13基礎問題(3)解析の問5そのものです。問7,問9より(4,−1)
問11 V=x3のとき∂V/∂xを求めよ
解 3x2
問12 V=xy+y2 のとき∂V/∂yを求めよ。
解 ∂V/∂y=x+2y
問13 V=z2のとき∂V/∂zを求めよ。
解 2z
問14 V(Vx,Vy,Vz)= V(x3,xy+y2+z,z2)の点(1,1,2)
において ∂Vx/∂x+∂Vy/∂y+∂Vz/∂zを求めよ。
解 3x2+x+2y+2zにx=1,y=1,z=2を代入する。
3×1+1+2×1+2×2=10
※H14基礎問題(3)解析問2そのものです。問11、問12、13参照。
問15 直線上を運動する点Pの座標xが時刻tの関数 x=2t3−3t+7
のとき、t=3の点の速度を求めよ。ただし、速度=dx/dtである。
解 dx/dt=2×3×t2−3
t=3により、dx/dt=2×3×32−3=51
解答 51
問16 直線上を運動する点Pの座標xが時刻tの関数 x=3t3+4t2−5
のとき、t=2の点の加速度を求めよ。ただし、加速度=dx2/dt2である。
解 dx/dt=3×3×t2++4×2×t=9t2+8
dx2/dt2 = 9×2×t=18t+8
t=2により、dx2/dt2 = 18×2+8=36+8=44
解答 44
問17 Ψ=3y+xy2のとき、点(2,−1)での∇Ψを求めよ。ただし、∇Ψ=(∂Ψ/∂x、∂Ψ/∂y)である。
解 ∂Ψ/∂x=y2、∂Ψ/∂y=3+2xy
(2,−1)により、 ∂Ψ/∂x=(−1)2 =1、∂Ψ/∂y=3+2×2×(−1)=−1
解答 (1、−1)
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●数値解析について
厳密解と近似解の違い、差分法・有限要素法・境界要素法の概要について理解しておくこと。
(1)差分法は、解析領域を規則正しい格子によって分解し、差分で近似しようとする方法である。差分法で精度を上げる場合には全体の格子のサイズを小さくしなければならず、ある部分のみをより正確に解析を行いたいなどの場合対応が難しい。
(2)有限要素法は、無限の自由度を持った連続体を有限個の要素(三角形、四角形などの単純な形状)に分解し、その挙動を求める方法である。ある部分の節点の配置を密にして要素を小さくすることによって部分的な精度の向上が可能。要素に分解するのに大きな手間がかかる。
(3)境界要素法は、境界のみの情報を用いて解析を行う方法である。有限要素法に比べて分割すべき領域が1次元小さくなるため要素分割に要する手間が低減される。
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まつさんに数値解析をわかりやすく説明していただきました。こちら
本当にありがとうございます。感謝申し上げます。
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(導関数の差分近似式について)
導関数は、式ではdy/dx==lim(h→0)〔f(x+h)−f(x)〕/hとなり、lim(h→0)により瞬間変化率が算出されます。
点x@での差分はu(i+1)−u(@)であり、単位(格子)幅hの差分近似式は〔f(x+h)−f(x)〕/hとなります。導関数の式からlim(h→0)を外した形となり、「h当たりの平均変化率」と覚えればよい。例えば自動車の速度表示は導関数により求めた瞬間速度ではなく「h秒当たりの平均速度」でしょうか。格子幅hを少なくすることにより精度は上がり、より瞬間速度に近似します。
数値解析についての練習問題はこちら
●力学・バネ・熱伝導・重力その他の計算問題
比例か反比例か、2乗に比例か、3乗に比例かを判断できれば解ける問題も出題されています。
(バネ)
のびのエネルギー(バネ係数kのバネののびをXとすると、のびのエネルギーはW=(1/2)KX2)、全ポテンシャルエネルギー(=内部ポテンシャルエネルギー+外力のポテンシャルエネルギー)がよく出題される。
(力学)
ヤング率、応力、ひずみについて理解しておくこと。特に比例・反比例の関係に慣れておくこと。
(熱伝導)
熱伝導は一次式ということが分かっておれば解ける問題が出題されています。
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青い炎さんにもテキストと演習問題をご提供いただきました。本当にありがとうございます。感謝申し上げます。
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(3群の学習のポイント)
基礎問題が苦手という人にとっては、おそらく3群(解析分野)こそがその象徴なんじゃないかと思います。3群の問題を見ただけで吐き気をもよおすという人もずいぶんといるんじゃないでしょうか。ところが、3群はある程度の基礎知識さえ押えておけば本当に簡単に解ける問題が多く、非常に美味しい分野であるといえます(中には訳の解らないものが含まれているが、確実に2問は簡単な問題が混じっている)。嘘だと思ってちょこっと勉強してみてください。
(微分)
APECさんが正直に苦手だと告白している『微分』なのですが、基礎問題で出題されている微分は、微分の本質を考えるものでもなんでもなくて、ただの計算問題です。しかも非常に簡単なものです。覚えなければいけないルールはただ一つだけです。つまり、
f = xnとすると、f’ = nxn-1 です。
例えば、f = x3とすると、f’ = 3x2 です。
これを文章で表すとfをxで微分すると3x2です。ここで、f’ = df/dx = 3x2 と表現する。
また、f = xとするとf’ = 1、f = 3といった定数にするとf’ = 0となります。
では、f = 2x3+4x2-3x+5とするとどうなるでしょうか。
答えは、f’ = 6x2+8x-3です。
次に、g = 2x-x2yをxで微分するとどうなるでしょうか?
この場合、yはただの係数という扱いになります。よって、g’ = dg/dx = 2-2xyです。最後に、前述のgをyで微分したらどうなるでしょうか。この場合、xはただの係数という扱いになります。よって、g’ = df/dy = -x2です。ここで混乱されたかたは、冷静に落ち着いてもう一度最初から読み返してみてください。
(力学の基礎)
力学は基本となる公式をいくつか覚えておくといいと思われます。
A.運動の第1法則
運動の第1法則とは、物体は外力によってその状態を変えられない限り、その静止の状態あるいは一直線上の等速運動の状態をそのまま続ける、というもので、慣性の法則と呼ばれる。
B.運動の第2法則
運動の変化は、及ぼされる力に比例し、その力が及ぼされる直線の方向に行われる。
この法則は式で表すことができて、一般に F=ma と表す。
ここで、F:力のベクトル m:質量 a:加速度のベクトル
C.運動の第3法則
運動の第3法則は作用反作用の法則と呼ばれ、質点1が質点2に力Fを及ぼしているときには、必ず同時に質点2は質点1に力−Fを及ぼしている、と表現される。
その他、流体力学(ベルヌーイの定理、レイノルズ数etc)、熱力学、フックの法則などを勉強すると良いと思われます。
(電磁気の基礎)
実は電磁気は、これまであまり出題されていません。それだけに今年は簡単な計算問題が出るのではと予想しています。演習問題を一度真面目に解いてみてください。
以上ですが、専門で6割を目標にすれば4割の正解で合格ですので、3群の苦手な人は微分だけ押えて、確実に1題はとるという姿勢で十分だと思います。
なお、青い炎さんに演習問題も用意していただきましたので解いてみてください。青い炎さんご主催の「ガチンコ技術士学園」の練習問題で、5択10問です。
解析の演習問題(青い炎さんご提供)はこちら
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